Tervetuloa Platonlandiin!

Pikaisella opastetulla kierroksella käymme läpi elämyspuiston tärkeimmät kohteet. Fyysiset rakennelmat ja artefaktit suojaavat vain tuulelta ja tuiskulta, mutta ajatusrakennelmat luovat viihtyisän ja siistin sisäisen tukikohdan kivijalan, josta laajentaa kohti ulkoisen kaaoksen metsästysmaita ja sisustaa tilan heijastamaan omaa persoonallisuuttaan. Harrastelijoiden ajatuskodit kuitenkin natisevat liitoksistaan ja vuotavat välillä maailman mutaa sisään, mutta arkkitehtimme Platon on nähnyt erityistä vaivaa, että vain virheettömiä, minimalistista makua helliviä, yksinkertaisia, mutta täydellisiä muotoja on käytetty. Täällä on kyllä käsitekehysseinä ja ajatusprosessi, mutta ei aisti-ikkunaa, josta pääsisi varjokuvia seinän topologialle - seinä on kiinteä: sen hilarakennelmaa voidaan jatkaa, muttei muuttaa. Täällä ei myöskään muinaisevoluution epämääräinen ruoho kasva lattialaattojen välistä, vaan kaikki on rakennettu standardiosista, jotka ovat yhteensopivia työkalujemme kanssa, ettei ymmärrystyökalun tarvitse huutaa "kvali-a, kvali-a, kva-li-a! mitä tämä on, sillä ei ole osia, sitä ei voi pyörittää, sitä ei voi siirtää!".

Luonnollisella kielellä voimme koodata projektion elämysmaailmasta esitteeseemme ja kuljettaa rakennusohjeita toisiin kohteisiin, mutta kuten mainoskonsultti tietää, vain formaali kieli voi antaa sellaiselle paikalle kuin Platonland todella oikeutta sen kaikessa jämäkkyydessään. Monet laitteista nimittäin ovat niin hurjia, että ilman tiukkoja turvallisuusvaatimuksia rakennusvaiheessa, koko rakennelma voisi romahtaa paradoksiin kuin juoksulenkki Möbiuksen nauhan pururataa, joka vaihtaisi vasemman oikeaan. Tästä syystä suosimme käsitteiden teräväpiirtoista digitaalitekniikkaa siellä missä mahdollista, koska se estää signaalin vaiheittaisen puuroutumisen. Turvamiehemme Kant varoittaa vieraita myös ylittämästä elämyspuiston rajoja, vaikka todellisuuden häilyvä aallokko voi sitä kuvitellessa antaa mielikuvan jostain tutusta ja turvallisesta kuten avaruus ja aika. Jonkinlaisen kuvan saa, kun ajattelee kausaalisuhteiden muodostamaa graafia ja sen informaatiosisältöä, mutta kun yritämme kuvitella tämän mielessä, näemme vain suppean esitysmuodon siitä omassa tulkintakehyksessämme, joka on vain kuin aksioomajärjestelmän muutama välitöntä seurausta. Tästä syystä esim. matemaatikko, insinööri tai filosofi tekee työtä löytäessään uuden tietyn teoreeman, joka ei ole empiirinen fakta: kyse on tässä rakentamisesta eikä tunnistamisesta, sillä uuden yhteyden valitseminen jollakin kriteerillä monen muun mahdollisuuden joukosta sisältää informaatiota.

Yksi suosituimmista kohteistamme on konstruktiivisen logiikan lego-nurkkaus. Meillä on käteviä mustia laatikoita, joille voidaan antaa nimilaput ja voimme tarpeen tullen abstrahoida unohtamalla mitä laatikon sisällä on. Voimme esimerkiksi laittaa (lauantain + sunnuntai)-viikonloppupäivälaatikkoon V ja loput viikonpäivät arkipäivälaatikkoon A. Operaatiolla V+A voimme yhdistää kahden laatikon elementit uudeksi laatikoksi VP, joka sisältää kaikki viikonpäivät (siis A+A sisältäisi kaksi kertaa A:n elementtien määrän elementtejä, näillä on identiteetti). Säälaatikossa S on vaikkapa (sataa + paistaa) ja operaatiolla V*S saamme kaikki yhdistelmät ikään kuin rinnankytkettyinä laatikoina ((lauantai*sataa) + (lauantai*paistaa) + (sunnuntai*sataa) + (sunnuntai*paistaa)). Lisäksi voimme rakentaa funktiojoukkoja laatikoiden välille. Tietyn tyyppinen funktiojoukko on aina kahden laatikon välillä: sen input- ja output-laatikot ja yksittäisen funktion toteutusta voi ajatella kimppuna nuolia, jotka johdattavat yksikäsitteisesti kaikista input-laatikon elementeistä aina johonkin output-laatikon elementtiin (merkitään tällaista funktioiden joukkoa/tyyppiä I-laatikosta O-laatikkoon O^I tai I→O). Myös funktiolaatikkoja voidaan rakentaa abstraktisti: Voimme esim. kytkeä rinnan funktiolaatikot S^A * S^V uudeksi laatikoksi S^(A+V) tai duaalisesti A^S * V^S laatikoksi (A*V)^S sekä vastaavasti kytkeä funktiota sarjaan pallo-operaatiolla, joka mahdollistaa X→Y-tyypisen ja Y→Z-tyyppisen laatikon yhdistämisen X→Z-tyyppiseksi laatikoksi kaikille X,Y ja Z. Mikäli abstrahointi tehdään "rinnankytkennän/tilan suhteen", puhutaan kapseloinnista ja jos se taas tehdään kausaalisuuden suunnassa, puhutaan abstraktiosta (kiitokset Esalle näiden eron opettamisesta). 

Nyt uusinta uutta luomakunnassa: kartesiolainen 4d-teatteri dolby-äänillä ja sinä olet elokuvan pääosassa etkä yleisössä! Kannattaa huomata, että funktioiden epäsymmetria luo duaalisuuden +:n ja *:n välille ja että informaatio ja avaruus kulkevat aina käsi kädessä. Kun poimimme alkion joukosta, voidaan joukkoa ajatella avaruutena/tilana ja yksittäisen alkion valinta määrittää informaatiota niin monta bittiä, kuin ko. alkion erotteleminen joukon muista alkioista vaatii (ajattele esim. "hiukkasen" paikkakoordinaattia fysiikassa: se määrittää yhden pisteen kaikkien mahdollisten koordinaattien avaruudesta). Jos ajattelemme, että ajattelun ylimmillä abstraktiotasoilla "tietoisuuden tila" valitaan joukosta A, voi itse ajatteluprosessin ilman aisti-input:ia ylimmällä tasolla raa'asti yleistäen nähdä tilakoneena tyyppiä A→A (eräänlainen sykli siis). On erittäin tärkeää ymmärtää, että tietoisuuden tila EI ole mikään siivu euklidista avaruutta. Lisäksi ko. tila kuvaa neliulotteisen Kantilaisen subjektiivisen aika-avaruuden "sisällään" struktuurina: kokemallamme ajalla tai yhtäaikaisuuden tuntemuksella ei ole suoraa yhteyttä fysikaaliseen kausaalirakenteeseen, vaan se on vain aivojen tuottama illuusio ajassa jatkuvasta identiteetistä ja ympäristöstämme loogisena konstruktiona, jota voidaan tarkastella eri abstraktiotasoilla. Kannattaa myös huomata, että vaikka maailma olisi joiltakin osin jatkuva, ei se tarkoita, että sen kuvaamiseen tarvittaisiin äärettömästi informaatiota. Kategoriateoriasta tiedämme, että pelkät nuolet riittäisivät asian kuvaamiseen ja erityisestä terminaaliobjektista 1 lähtevät nuolet tyyppiä 1→A ovat isomorfisia A:n alkioille. +:n ryhmärakenteen yksikköalkio on tässä tyyppikategoriassa initiaaliobjekti 0, minkä voi tulkita tyhjäksi joukoksi ja +-operaatiolla voidaan ikään kuin generoida isompia avaruuksia, joiden elementit sisältävät enemmän informaatiota rakentamalla objekteja "alhaalta ylöspäin". Duaalisesti 1 on *:n yksikköalkio ja sen voi tulkia "universumiksi" ilman spesifikaatiota ("kaikki käy"). *:operaatiolla voidaan sitten lisätä uusia vaatimuksia spesifikaatioon ja ikään kuin "veistää/rajata" universumista tietyn muotoinen rakenne yhdistämällä monia vaatimuksia "ylhäältä alaspäin" jättämällä aikaviivan alkupää muuttujaksi. Lopullinen rakenne on siis yhdistelmä generaattorien tuottamia mahdollisuuksia, joita spesifikaatiot karsivat tuottaen lopullisen joukon (ajattele ZFC:n separaatioaksioomaa - otin tämän suomennoksen wikipediasta). Jonkinlaisen intuition tästä kaksisuuntaisuudesta antaa esim. se, että kuvittelee kokonaislukujen parien joukkoa (x,y), missä nuo muuttujat x ja y ikäänkuin "generoivat" ko. avaruuden ja sitten asetamme "top-down" ehdon esim. y=x+1, joka duaalisesti "filtteröi" yhden vapausasteen pois. Kannattaa vielä huomata, että tällaiseen loogiseen systeemiin ei voida lisätä täyttä rekursiota ilman, että systeemin rakenne sulaa Turing-täydellisyyden paradokseihin, mutta rajoittumalla ns. (co-)rakenteelliseen rekursioon, voidaan useimmat asiat kuitenkin esittää konsistentissa systeemissä ja "lego-palikkamaisuus/staattisuus" säilyy. Ihminen kykenee myös korkeamman kertaluvun logiikkaan, jossa voidaan parametrisoida joukkojen yli - ikään kuin laittaa joukkoja joukkojen sisään, mutta nämä ulommat pitää jälleen kerran erottaa ensimmäisen kertaluvun joukoista, jotta vältyttäisiin Burali-Forti-paradoksilta.

Kiinalainen huone-kauhujuna on myös jännittävä paikka nuorille aikuisille, sillä se saattaa saada heikkohermoisen luulemaan, että tietoisuuden synnyttävä kausaalistruktuuri ei toimisi muilla "toteutusalustoilla" kuin aivoissa. Tässä on kuitenkin helppo huomata, että aivojen neuronit ovat jo itsessään "kiinalainen huone" sisältäen paljon kaikenlaista kohinaa varsinaisten signaalien lisäksi kun tilannetta tarkastellaan yksityiskohtaisesti. Ajattelun stabiilin struktuurin suojaamiseksi ympäristön sotkulta pitää itse asiassa nähdä erityisesti vaivaa (tämä on myös monien ihmisten rakentamien koneiden pääasiallinen ominaisuus). Ratkaisun löydämme kategoriateorian funktoreista, jotka mahdollistavat kuvauksen toiseen rakenteen "sisään" siten, että alkuperäinen struktuuri säilyy. Tässä on kyse vastaavasta asiasta kuin vaikkapa virtuaalikoneen ajamisesta tietokoneella tai protokollan tunneloinnista toisen protokollan sisällä.

Kotoisan elämysmaailmamme ulkopuolella vellookin sitten kaoottinen Turing-vahva meri, jossa on sen verran tyyniä kohtia ja säännönmukaisuutta, että saamme artefaktimme kellumaan edes jotenkin. Muistaakseni Hawking kirjoitti Ajan lyhyt historia-kirjassaan jotain sen suuntaista, että vaikka kaikki luonnonlait tunnettaisiin, niin siitä se työ vasta alkaisi, kun yritämme selvittää niiden seurauksia. Mielestäni tämän voisi esittää vielä voimallisemmin niin, että tuolla ulkona jossain voi odottaa vielä ihmeellisempiä struktuureja kuin koko nykyinen sisäinen maailmamme ja nykyinen kulttuurimme.

(Welcome (Enter The Circus) - Christina Aguilera)